Sistemes dinàmics (1.3)

         Generalitzem els resultats anteriors: anomenant x_k a la quantitat de peixos que hi ha l’any k, la dinàmica de la població de peixos (també anomenada òrbita) es pot presentar en una taula del tipus:

Any	0	1	2	3	…	k	k+1	…
Quantitat de peixos	x0	x1	x2	x3	…	xk	xk+1	…

on el nombre de peixos que hi ha cada any s’obté aplicant la funció f al nombre de peixos que hi havia l’any anterior:

x_k+1 = f(x_k)       equació del sistema dinàmic

Si l’equació del sistema dinàmic que regeix el creixement de la població de peixos és

f(x) = 3·x·(1 – x)

i x₀ = a són els peixos que hi ha inicialment, el nombre de peixos que hi ha els dos pròxims anys és:

x₁ = f(x₀) = f(a) = 3 a (1 – a)

x₂ = f(x₁) = 3 [3 a (1 – a)] (1 – [3 a (1 – a)]) = 9 a (1 – a) (1 – 3a + 3a²)

a.        Obtín l’expressió per al nombre de peixos que hi ha el tercer any.

b.       Podries obtindre l’expressió general de x_n en funció de x₀ ? Saps quelcom sobre ella?

      Com hauràs observat l’expressió que s’obté és molt complicada, sent difícil manipular aquestes expressions, de manera que es fa altra cosa... que veurem a la próxima activitat.