Sistemes dinàmics 1.9

Un punt d’equilibri d’un sistema dinàmic es diu que és estable si quan s’altera lleugerament, la població es torna a acostar al dit punt; i es diu que és inestable si quan s’altera lleugerament, la població s’allunya del dit punt.
Contesta si els següents punts d’equilibri són estables o inestables:

1. Els punts d’equilibri de l’activitat 1.6 
2. El punt d’equilibri x=0 de l’activitat 1.8 
3. El punt d’equilibri x=0.5 de l’activitat 1.8
4. Els punts d’equilibri de l’activitat 1.5

Sistemes dinàmics 1.8

Una certa població de peixos té una corba de creixement com la de la figura:

En aquest sistema dinàmic x = 0 i x = 0’5 són punts d’equilibri, és a dir, que si la població inicial és de zero peixos o de mig milió de peixos, la dita població roman estable. El comportament del sistema al voltant dels dits punts és ben diferent com pots posar de manifest contestant les preguntes següents:

1. Una població estable de mig milió de peixos disminueix lleugerament per un cert abocament contaminant. Què ocorre a llarg termini?
2. Una població estable de mig milió de peixos augmenta lleugerament per un any de cria excepcional. Què ocorre a llarg termini?
3. En un ecosistema sense peixos introdueixes diversos exemplars. Què ocorre a llarg termini?
4. Per motius extraordinaris, un ecosistema se satura de peixos. Què ocorre a llarg termini?

Sistemes dinàmics 1.7

Un sistema dinàmic com, per exemple, la població d’una espècie animal, es diu que està en equilibri quan s’estabilitza, és a dir, quan la seua població roman constant. El sistema dinàmic d’equació f estarà en equilibri per a aquella població x que verifica

f(x) = x 

anomenada població o punt d’equilibri i, en termes matemàtics, punt fix.

• Troba els punts d’equilibri del sistema de l’activitat S.D. 1.5
• Troba els punts d’equilibri del sistema de l’activitat S.D. 1.6

Sistemes dinàmics 1.6

Si es prohibeix la caça de balenes la seua corba de creixement augmenta i pot ser així:

1. Partint de 100.000 balenes, quantes hi haurà a llarg termini? 
2. Partint de 100 balenes, quantes hi haurà a llarg termini? 
3. Partint de 900.000 balenes, quantes hi haurà a llarg termini? 
4. Per a quin nombre de balenes la població creix a l’any pròxim? 
5. Per a quin nombre de balenes la població decreix a l’any pròxim? Per a quin nombre de balenes la població roman estable?

Et pots ajudar d'aquest enllaç

Sistemes dinàmics 1.5

Les balenes i altres espècies animals tenen corbes de creixement molt lent. En el cas que es caça lliurement les corbes de creixement poden ser així (cada eix representa milions de balenes):

Partint d’una població inicial de mig milió de balenes: 

1. Quantes hi haurà al cap de quatre anys?
2. Quantes hi haurà a més llarg termini (dins de 10 o 20 anys)?

Et pots ajudar d'aquest enllaç.

Sistemes dinàmics 1.4

Si enguany hi ha x peixos, l’any pròxim hi haurà y = f(x) peixos, d’ací a dos anys hi haurà z = f(y) peixos, i així successivament. Gràficament, el valor de z es pot obtindre seguint des de x la línia roja de la figura següent:

1. Explica per què. 
2. Obtín gràficament la població de peixos d’ací a tres anys.

Gràficament, la dinàmica de la població a llarg termini es pot visualitzar d’una forma molt més senzilla seguint la línia roja de la figura:

Si ja vas fer l'activitat 1.2.1, ací tens un enllaç per repetir la investigació utilitzant el gràfic de teranyina.

Orden en el caos

És el nom d'aquest capítol de la série Universo matemático

Ara, si us ha agradat, podeu fer algunes activitats per tal de comprovar si ho heu entés:

• Part 1
• Part 2
• Part 3
• Part 4

Per últim, resumim tot en un treball, que podeu penjar al bloc (escrit, prezi, etc.).  Guia per fer el treball.

Sistemes dinàmics (1.2.1)

Ací tens el capítol 151 del llibre El curiós incident del gos a mitjanit, De Mark Haddon.

Sistemes dinàmics (1.3)

         Generalitzem els resultats anteriors: anomenant x_k a la quantitat de peixos que hi ha l’any k, la dinàmica de la població de peixos (també anomenada òrbita) es pot presentar en una taula del tipus:

Any	0	1	2	3	…	k	k+1	…
Quantitat de peixos	x0	x1	x2	x3	…	xk	xk+1	…

on el nombre de peixos que hi ha cada any s’obté aplicant la funció f al nombre de peixos que hi havia l’any anterior:

x_k+1 = f(x_k)       equació del sistema dinàmic

Si l’equació del sistema dinàmic que regeix el creixement de la població de peixos és

f(x) = 3·x·(1 – x)

i x₀ = a són els peixos que hi ha inicialment, el nombre de peixos que hi ha els dos pròxims anys és:

x₁ = f(x₀) = f(a) = 3 a (1 – a)

x₂ = f(x₁) = 3 [3 a (1 – a)] (1 – [3 a (1 – a)]) = 9 a (1 – a) (1 – 3a + 3a²)

a.        Obtín l’expressió per al nombre de peixos que hi ha el tercer any.

b.       Podries obtindre l’expressió general de x_n en funció de x₀ ? Saps quelcom sobre ella?

      Com hauràs observat l’expressió que s’obté és molt complicada, sent difícil manipular aquestes expressions, de manera que es fa altra cosa... que veurem a la próxima activitat.

Sistemes dinàmics (1.2)

El procés descrit en Sistemes dinàmics (1.1) es repeteix, perquè el tercer any tindrem una població de peixos que dependrà de la població del segon any, i així successivament.

Si coneixem la fórmula de la funció que regeix l’evolució de la població de peixos, podem escriure la dinàmica de la població en una taula. Suposem que l’equació del sistema dinàmic és

f(x) = 3·x·(1 – x)

Això vol dir que, si la població actual és, per exemple, de 100.000 peixos (x=0’1), la de l’any següent és de 270.000 peixos, ja que

f(0’1) = 3·0’1·(1–0’1) = 3·0’1·0’9 = 3·0’09 = 0’27

i la del següent serà f(0’27) = 3·0’27·(1–0’27) = 3·0’27·0’73 = 0’5913.

La població evolucionarà any rere any, però... l’evolució serà la mateixa per a tots els valors inicials? Investiguem-ho: ompli la taula per a diversos valors inicials de la població:

Any	0	1	2	3	4	5	6	7	8	9	10
Quantitat de peixos	0
	0’1	0’27	0’59
	0’5
	0’8
	1

Pots representar gràficament els resultats. Els càlculs es poden automatitzar utilitzant un full de càlcul.

Sistemes dinàmics (1.1)

La naturalesa és un mitjà on succeeixen una gran quantitat de processos que interaccionen entre si. Els sistemes dinàmics són molt útils per a estudiar i entendre com evolucionen aquest tipus de fenòmens i, a més, han donat lloc a importants descobriments recents com l’existència de caos. Ací, ens aproximarem a aquesta teoria matemàtica per mitjà d’alguns exemples senzills, que ens permetran endinsar-nos en l'estudi de les lleis de creixement i la idea de punt d'equilibri.

Sistemes dinàmics (0)

Com que sembla que heu tingut dificultats a l'hora de contestar alguna qüestió en 'Sistemes dinàmics (1)', us propose primer aquestes preguntes:

1. Quins punts del pla tenen igual l'abscissa i l'ordenada?
2. En quins punts és major l'ordenada que l'abscissa?
3. En quins és major l'abscissa?

Utilitzeu una gràfica per les respostes, que espere al DropBox. Una vegada fet, torneu a intentar Sistemes dinàmics (1).