La bruixa d'Agnesi

Les dones, sempre oblidades. També en matemàtiques.Doodle dedicat a Maria Gaetana Agnesi.

Un repte: sense buscar-ho en Internet... Podries descriure com es construeix aquesta corba tan bonica? Podries fer-ho en GeoGebra.

Ànim!

Un esdeveniment molt esperat: GeoGebra per tauletes

Per fi, a ran de la colaboració de molta gent, han aparegut ja versions del magnífic programa de geometria dinàmica GeoGebra per a dispositius mòbils.
Encara no el coneixes? No saps el que t'estàs perdent.
Punxa ací si vols llegir una referència, ací per accedir a la descàrrega o ací si vols llegir un article

Com sona una gràfica?

Un so és un fenomen que implica la propagació d'energia sense transferència de matèria, mitjançant ones. Aquest moviment ondulatori ve descrit per una funció sinusoïdal, per tant una gràfica sinusoïdal sona, i la pots fer sonar si segueixes llegint.

Des d'on xutarà?

Ací tens les dimensions d'un camp de futbol:

L'àrbitre ha xiulat una falta exactament sobre la línia lateral de l'àrea gran. A quin punt preferirà el davanter situar el baló per fer el llançament? Et pot ajudar aquest enllaç.

Àrea màxima

A altres entrades d'aquest bloc has pogut fer un estudi intuïtiu de l'optimització de figures planes. Si no ho recordes o vols revisar-ho tot, punxa sobre l'etiqueta "optimització".

Ha arribat el moment de formalitzar-ne l'estudi. Plantegem el problema:

Quin és, entre tots els polígons regulars d'igual perímetre, el que té àrea màxima?

 Algunes indicacions a seguir:

• Fixa el perímetre. Diguem 60 cm.
• Fes una taula de valors nombre de costats - àrea. Comença per calcular l'àrea del triangle equilàter de perímetre 60 cm.
• Després, calcula l'àrea del quadrat de 60 cm. Aquest cas és molt senzill, però pensa que es tracta de dissenyar un mètode que servisca per a qualsevol polígon regular (de 'n' costats). Per tant, utilitza el mètode senzill només per comprovar que el mètode general va per bon camí.
• Ara, per a un pentàgon. Si ho aconsegueixes, ja tens el mètode general.
• Escriu correctament la funció A(n) que dóna l'àrea del polígon regular de 'n' costats. Representa-la gràficament i... (busca extrems, calcula límits, ... no sé); escriu-la per a qualsevol perímetre, no per a un valor concret.

Funcions artístiques

Les funcions trigonomètriques tenen unes gràfiques que poden ser molt boniques. Si no ho creus, mira, mira...

A més del valor estètic, descriuen fenomens físics anomenats ondulatoris, com la llum, el so o l'aigua (el comportament de la llum és una mica especial, però en fi...). Més informació senzilla.
Si, a més, fem gràfiques en coordenades polars, obtenim imatges com aquestes:

La primera correspon a la funció més senzilla possible en coordenades polars, r = φ (que equival a la funció y = x en coordenades cartesianes). La segona té, en polars, la mateixa fórmula que la primera gràfica en cartesianes.

Et propose un repte: investiga sobre les gràfiques en coordenades polars i la relació amb les gràfiques en coordenades cartesianes.

Et pots ajudat d'aquests enllaços:

• Què són les coordenades polars
• Relació entre coordenades cartesianes i polars
• Gràfiques de funcions trigonomètriques: paràmetres
• Gràfiques en coordenades polars

Sistemes dinàmics 1.9

Un punt d’equilibri d’un sistema dinàmic es diu que és estable si quan s’altera lleugerament, la població es torna a acostar al dit punt; i es diu que és inestable si quan s’altera lleugerament, la població s’allunya del dit punt.
Contesta si els següents punts d’equilibri són estables o inestables:

1. Els punts d’equilibri de l’activitat 1.6 
2. El punt d’equilibri x=0 de l’activitat 1.8 
3. El punt d’equilibri x=0.5 de l’activitat 1.8
4. Els punts d’equilibri de l’activitat 1.5

Sistemes dinàmics 1.8

Una certa població de peixos té una corba de creixement com la de la figura:

En aquest sistema dinàmic x = 0 i x = 0’5 són punts d’equilibri, és a dir, que si la població inicial és de zero peixos o de mig milió de peixos, la dita població roman estable. El comportament del sistema al voltant dels dits punts és ben diferent com pots posar de manifest contestant les preguntes següents:

1. Una població estable de mig milió de peixos disminueix lleugerament per un cert abocament contaminant. Què ocorre a llarg termini?
2. Una població estable de mig milió de peixos augmenta lleugerament per un any de cria excepcional. Què ocorre a llarg termini?
3. En un ecosistema sense peixos introdueixes diversos exemplars. Què ocorre a llarg termini?
4. Per motius extraordinaris, un ecosistema se satura de peixos. Què ocorre a llarg termini?

Sistemes dinàmics 1.7

Un sistema dinàmic com, per exemple, la població d’una espècie animal, es diu que està en equilibri quan s’estabilitza, és a dir, quan la seua població roman constant. El sistema dinàmic d’equació f estarà en equilibri per a aquella població x que verifica

f(x) = x 

anomenada població o punt d’equilibri i, en termes matemàtics, punt fix.

• Troba els punts d’equilibri del sistema de l’activitat S.D. 1.5
• Troba els punts d’equilibri del sistema de l’activitat S.D. 1.6

Sistemes dinàmics 1.6

Si es prohibeix la caça de balenes la seua corba de creixement augmenta i pot ser així:

1. Partint de 100.000 balenes, quantes hi haurà a llarg termini? 
2. Partint de 100 balenes, quantes hi haurà a llarg termini? 
3. Partint de 900.000 balenes, quantes hi haurà a llarg termini? 
4. Per a quin nombre de balenes la població creix a l’any pròxim? 
5. Per a quin nombre de balenes la població decreix a l’any pròxim? Per a quin nombre de balenes la població roman estable?

Et pots ajudar d'aquest enllaç

Sistemes dinàmics 1.5

Les balenes i altres espècies animals tenen corbes de creixement molt lent. En el cas que es caça lliurement les corbes de creixement poden ser així (cada eix representa milions de balenes):

Partint d’una població inicial de mig milió de balenes: 

1. Quantes hi haurà al cap de quatre anys?
2. Quantes hi haurà a més llarg termini (dins de 10 o 20 anys)?

Et pots ajudar d'aquest enllaç.

Sistemes dinàmics 1.4

Si enguany hi ha x peixos, l’any pròxim hi haurà y = f(x) peixos, d’ací a dos anys hi haurà z = f(y) peixos, i així successivament. Gràficament, el valor de z es pot obtindre seguint des de x la línia roja de la figura següent:

1. Explica per què. 
2. Obtín gràficament la població de peixos d’ací a tres anys.

Gràficament, la dinàmica de la població a llarg termini es pot visualitzar d’una forma molt més senzilla seguint la línia roja de la figura:

Si ja vas fer l'activitat 1.2.1, ací tens un enllaç per repetir la investigació utilitzant el gràfic de teranyina.

La catenària i Gaudí

La Catenària (Investigació) - Javi Gombao

Propietats

La catenària té la característica de ser el lloc geomètric dels punts on les tensions horitzontals del cable es compensen i per això no té tensions laterals de manera que la cadena roman immòbil sense desplaçar-se cap els costats. Les forces que actuen són la força de la gravetat, i una tensió tangent a la cadena en cada punt que és la que la manté estirada.

L'estructura que en l'arquitectura aprofita els avantatges mecàniques de la catenària rep el nom d'arc catenari i es tracta d'un arc que adquireix la forma d'una catenària invertida. Igual que en les catenàries la tensió que pateix cada punt de l'arc es reparteix entre una component vertical i una component de pressió que es transmet a través del propi arc cap als fonaments, sense que es creïn esforços horitzontals, excepte en l'extrem arribant ja als fonaments.

És aquesta propietat la que fa que els arcs catenaris no necessitin suports laterals per sustentar. Així doncs, al segle XIX amb l'arribada del Modernisme els arquitectes, entre els quals destaca Gaudí començaran a utilitzar els arcs catenaris:

A aquest dibuix es representa la transmissió de forces en arcs romànics i gòtics:

Diferències amb la paràbola

Si observem superposades les gràfiques d'una catenària i una paràbola podem entendre per què els antics matemàtics al principi suposaven que era la paràbola

El desenvolupament de les fórmules matemàtiques d'una catenària i una paràbola coincideix en els seus tres primers termes (y= a + b x + cx²) i només a partir del quart ambdues expressions es diferencien (poden haver en els últims termes de l'expressió de la catenària x elevades a potències majors). Això fa que les gràfiques de les dues corbes s'assemblen per a valors petits de la x, acusant més la seua diferenciació segons augmenten els valors d'aquesta. La major diferència entre les corbes correspon a les sevus respectives tangents, a la catenària el valor de la tangent tendeix a la verticalitat mentre que a la paràbola aquest valor té una constant. Això condiciona que en la catenària, per a valors infinits de la y, la x tendeix a valors limitats, mentre que en la paràbola per als valors infinits de la y s'obtenen valors infinits de la x. Aquesta hauria de ser la característica que fes prevaler als arcs catenaris enfront dels parabòlics en arquitectura però la facilitat de dibuixar les paràboles enfront de les catenàries va fer que la utilització de les últimes fora relativament reduït a Europa fins al segle XIX. De qualsevol manera, tot i la òptima qualitat de l'arc catenari, així com d'altres formes estàticament estables, com la paràbola invertida, durant molt temps es va considerar que tenien formes poc elegants i no es van utilitzar en l'arquitectura clàssica.

Funcions sorprenents

Ja saps que els paràmetres de cada model de funció tenen efectes en les gràfiques. Però mira quins efectes poden tindre quan canvien els colors....

Les construccions següents són de Toni Aguirre.

Gaudí i els arcs

Gaudí utilitza molts elements geomètrics a les seues construccions. Per exemple, hi ha arcs que ressemblen molt a una paràbola, encara que realment no ho siga:

De fet, es tracta d'una catenària, corba que descriu una cadena penjada de dos punts. El principi és que si podem sostenir una cadena amb dos dits, si li donem la volta, la corba descansa en els extrems. Aquest enllaç et permet comparar paràbola i catenària, i ací veuràs diversos element de l'arquitectura de Gaudí amb unes corbes anomenades còniques.
T'animes a fer alguna construcció amb GeoGebra?

El llenguatge de les gràfiques

A aquest enllaç trobaràs la fitxa del capítol de la sèrie Más por menos que has vist.

Arcs en arquitectura

Alguna vegada has mirat els arcs amb una mica d'atenció? No tots són iguals:

Un tema interessant per a investigar, sense dubte. Pots començar per aquest enllaç: http://jmora7.com/Arcos/index.htm

Un meteorit

Aquest és un problema a fer i deixar al DropBox.

Creixement quadràtic

Bé, ja hem vist també el creixement quadràtic. Està caracteritzat per:

• La gràfica és una paràbola.
• La taula de valors té les diferències segones constants.
• La fórmula és de segon grau, conté un x².

Aquest enllaç et permetrà saber-ne més.

Creixement lineal

Una vegada que ja hem vist que hi ha diferents ritmes de creixement, estudiarem amb més detall alguns models matemàtics concrets.

Començarem pel creixement lineal; com saps està caracteritzat per:

• La gràfica és una línia recta.
• La taula de valors té diferències primeres constants.
• La fórmula és de primer grau: y=a·x+b

Aquest enllaç et permetrà saber-ne més. Quan ho tingues clar, practica ací. I ací fas un test amb nota.