Com sona una gràfica?

Un so és un fenomen que implica la propagació d'energia sense transferència de matèria, mitjançant ones. Aquest moviment ondulatori ve descrit per una funció sinusoïdal, per tant una gràfica sinusoïdal sona, i la pots fer sonar si segueixes llegint.

Des d'on xutarà?

Ací tens les dimensions d'un camp de futbol:

L'àrbitre ha xiulat una falta exactament sobre la línia lateral de l'àrea gran. A quin punt preferirà el davanter situar el baló per fer el llançament? Et pot ajudar aquest enllaç.

Àrea màxima

A altres entrades d'aquest bloc has pogut fer un estudi intuïtiu de l'optimització de figures planes. Si no ho recordes o vols revisar-ho tot, punxa sobre l'etiqueta "optimització".

Ha arribat el moment de formalitzar-ne l'estudi. Plantegem el problema:

Quin és, entre tots els polígons regulars d'igual perímetre, el que té àrea màxima?

 Algunes indicacions a seguir:

• Fixa el perímetre. Diguem 60 cm.
• Fes una taula de valors nombre de costats - àrea. Comença per calcular l'àrea del triangle equilàter de perímetre 60 cm.
• Després, calcula l'àrea del quadrat de 60 cm. Aquest cas és molt senzill, però pensa que es tracta de dissenyar un mètode que servisca per a qualsevol polígon regular (de 'n' costats). Per tant, utilitza el mètode senzill només per comprovar que el mètode general va per bon camí.
• Ara, per a un pentàgon. Si ho aconsegueixes, ja tens el mètode general.
• Escriu correctament la funció A(n) que dóna l'àrea del polígon regular de 'n' costats. Representa-la gràficament i... (busca extrems, calcula límits, ... no sé); escriu-la per a qualsevol perímetre, no per a un valor concret.

Funcions artístiques

Les funcions trigonomètriques tenen unes gràfiques que poden ser molt boniques. Si no ho creus, mira, mira...

A més del valor estètic, descriuen fenomens físics anomenats ondulatoris, com la llum, el so o l'aigua (el comportament de la llum és una mica especial, però en fi...). Més informació senzilla.
Si, a més, fem gràfiques en coordenades polars, obtenim imatges com aquestes:

La primera correspon a la funció més senzilla possible en coordenades polars, r = φ (que equival a la funció y = x en coordenades cartesianes). La segona té, en polars, la mateixa fórmula que la primera gràfica en cartesianes.

Et propose un repte: investiga sobre les gràfiques en coordenades polars i la relació amb les gràfiques en coordenades cartesianes.

Et pots ajudat d'aquests enllaços:

• Què són les coordenades polars
• Relació entre coordenades cartesianes i polars
• Gràfiques de funcions trigonomètriques: paràmetres
• Gràfiques en coordenades polars

Una errada

Ens hem proposat amidar l’altura d’una muntanya; tres amics hem pres unes mesures que desprès hem situat al croquis següent a mà alçada. Però, en calcular l’altura hem trobat com a resultat –281 m. Per més que revisem els càlculs, no trobem cap errada, i les mesures dels tres havien coincidit. Quina errada hem pogut cometre? Quina és en realitat l’altura de la muntanya?

Les solucions, al DropBox. (O en mà!).

Una ampliació

Has llegit el post sobre els orígens de la trigonometria? Hi et proposava dos problemetes. Ací tens una ampliació del primer d'ells:

Es deixa caure al carrer una engruna de pa. Del capdamunt de cadascun dels dos edificis ix un pardal; suposant que ambdós pardals segueixen un moviment rectilini i que arriben a l'engruna de pa alhora, on estava situada l'engruna de pa? 

Els bombers

Fes almenys un dels treballs proposats a continuació, i quan estiga acabat publica'l al teu bloc. El quadern amb tot el treball intermig, al dropbox.

• Bombers
• Tales i les ombres
• El pendent

Els orígens de la trigonometria

Històricament, sembla que la trigonometria començà amb l'intent d'Hiparc d'utilitzar, per a caracteritzar els angles, la longitud de la corda corresponent en el cercle de radi unitat. Al s VI el matemàtic indi Āryabhata utilitzà la meitat de la longitud de la corda de l'angle doble (el que avui hom anomena sinus). D'altra banda, Menelau, astrònom d'Alexandria, escriví el tractat Esfèrica, on estudià sistemàticament la trigonometria esfèrica, a les acaballes del s I. Bé que sense utilitzar el sinus, a l'obra Almagest de Ptolemeu hi ha ja una bona col·lecció de resultats trigonomètrics. Els àrabs, reunint els coneixements hel·lenístics amb la descoberta hindú dels sinus, elaboraren les primeres taules trigonomètriques, alhora que descobriren les relacions elementals entre les raons. Tot això passà a l'Occident cristià a través de les penínsules Ibèrica i Itàlica, i contribuí al desenvolupament de les tècniques de navegació. L'any 1553 Regiomontanus publicà a Nuremberg De triangulis omnimodis libri quinque, obra molt influent, en la qual, entre d'altres novetats, apareix per primera vegada el teorema que avui és anomenat dels sinus, alhora que hi ha també les primeres idees sobre cosinus i tangents. Més tard, Viète posà la trigonometria a l'abast de la tècnica, en estudiar les conseqüències de les divisions dels arcs i en facilitar la construcció de taules trigonomètriques detallades (Burgui, Van Romen), cap al 1600. En la trigonometria esfèrica, Viète mateix descobrí i sistematitzà les anomenades analogies de Neper, que ajuden a la resolució dels triangles. A poc a poc la trigonometria anà adquirint la forma que avui té, i l'estudi de les funcions trigonomètriques rebé un bon impuls gràcies a Euler (1730) quan, utilitzant els nombres complexos, aconseguí de relacionar les funcions trigonomètriques amb les exponencials i les logarítmiques.

Font: Enciclopèdia catalana

Numb3rs 2x03: determina les coordenades

A aquest capítol, Xarlie i Larry ens mostren com calcular les coordenades geogràfiques d'un punt a partir de les fotos d'una cistella de bàsquet.

Veuràs una activitat relacionada amb el tema si segueixes llegint.

Per la reflexió

Mireu el vídeo i intenteu pensar per què ocorre això.