Des d'on xutarà?

Ací tens les dimensions d'un camp de futbol:

L'àrbitre ha xiulat una falta exactament sobre la línia lateral de l'àrea gran. A quin punt preferirà el davanter situar el baló per fer el llançament? Et pot ajudar aquest enllaç.

Àrea màxima

A altres entrades d'aquest bloc has pogut fer un estudi intuïtiu de l'optimització de figures planes. Si no ho recordes o vols revisar-ho tot, punxa sobre l'etiqueta "optimització".

Ha arribat el moment de formalitzar-ne l'estudi. Plantegem el problema:

Quin és, entre tots els polígons regulars d'igual perímetre, el que té àrea màxima?

 Algunes indicacions a seguir:

• Fixa el perímetre. Diguem 60 cm.
• Fes una taula de valors nombre de costats - àrea. Comença per calcular l'àrea del triangle equilàter de perímetre 60 cm.
• Després, calcula l'àrea del quadrat de 60 cm. Aquest cas és molt senzill, però pensa que es tracta de dissenyar un mètode que servisca per a qualsevol polígon regular (de 'n' costats). Per tant, utilitza el mètode senzill només per comprovar que el mètode general va per bon camí.
• Ara, per a un pentàgon. Si ho aconsegueixes, ja tens el mètode general.
• Escriu correctament la funció A(n) que dóna l'àrea del polígon regular de 'n' costats. Representa-la gràficament i... (busca extrems, calcula límits, ... no sé); escriu-la per a qualsevol perímetre, no per a un valor concret.

Optimitzar (segona part)

Bé, ja vàrem treballar el fet que polígons que mantenien el mateix perímetre definien regions amb àrea variable, i com era possible que aquesta àrea fóra màxima.
Ara us plantege la segona part del repte: tenim polígons amb la mateixa àrea. N'hi haurà algun entre ells que tinga perímetre mínim?

Triangle més econòmic

El triangle té àrea 5 cm². Pots modificar la longitud de la base amb el botó lliscant (l'alçària queda determinada per l'àrea).
També pots moure el punt D (es manté sempre la mateixa alçària).

Rectangle més barat

Pensa que es tracta d'una qüestió d'economia. Si construeixes una figura, has de pagar pel material, i en el cas d'un polígon el material utilitzat constitueix el perímetre de la figura; per tant, la figura més barata és la de perímetre mínim.

La figura plana més econòmica

I ara, passant per diversos polígons regulars, arribarem a concloure quina és, de totes les figures planes que tenen igual àrea, la de menor perímetre.

Optimitzar triangles

El triangle té perímetre 10 cm. Pots modificar la longitud de dos costats, ja que el tercer costat està determinat pel perímetre.

• Fes que la longitud dels costat b siga 2 cm, i fes variar la longitud del costat 'a'. Quin triangle té àrea màxima?
• Ara, repeteix el procediment amb longitud de 'b' 3 cm
• Fes-ho més vegades, canviant cada vegada el valor de la longitud de 'b'.
• Quina conclusió n'extraus? Quin triangle de perímetre 10 cm té major àrea?

Optimitzar rectangles

El rectangle té perímetre 10 cm. Pots modificar la longitud de la base; l'alçària està determinada pel perímetre.

• Quin rectangle té àrea màxima?
• Fes una taula on poses almenys 20 valors de la base, el corresponent valor de l'alçària i el de l'àrea. (Una taula amb tres columnes)
• Representa gràficament les relacions base-alçària i base-àrea.

Optimitzar pentàgons

El pentàgon té perímetre 10 cm i tots els costats iguals (cada costat amida 2 cm). Pots moure els vèrtexs.

• Quin pentàgon té àrea màxima? (Ve expressada en centímetres quadrats, evidentment)
• Compara-la amb l'àrea màxima del triangle i del rectangle (tots tres tenen perímetre 10 cm, recorda-ho). Quina àrea és major?

La millor figura plana

De totes les figures planes, la figura òptima és aquella que té l'àrea màxima entre totes les figures amb el mateix perímetre, o el mínim perímetre entre totes les figures amb la mateixa àrea.
Deprés de fer l'estudi d'algunes figures (triangle, rectangle, pentàgon), ja et pots imaginar quina és la figura òptima.
Per si encara tens dubtes, pots utilitzar aquesta construcció.

• Fes una taula amb el nombre de costats del polígon regular i l'àrea.
• Representa gràficament la relació.

No oblides fer un treball on contestes totes les qüestions plantejades i que resumisca tot el procés seguit.