Notícia: enhorabona

La Conselleria d'Educació ha atorgat a Víctor García, Javi Gombao i Mario Pastor premi extraordinari al rendiment acadèmic d'Educació Secundària Obligatòria en el curs 2011-2012.

ENHORABONA

Jocs per practicar amb enters

Ací teniu enllaços amb pàgines web que us permetran practicar i jugar amb els nombres:

• Piràmide numèrica
• Més, menys, per, entre

Operacions amb enters (1)

Ací tens operacions amb nombres enters.

L'oncle Petros i la conjectura de Goldbach

Després d'haver llegit el llibre, ens hem plantejat un recull de qüestions. Comencem amb una:

Pàg. 14: a la conferència es parlen de molts termes que el xicon no entén: el problema del continu ... Busca què són aleph (en relació a les matemàtiques), la paradoxa de Russell i els axiomes de Peano.

Fer ballar els nombres

És el que ha aconseguit Stephen Von Worley en la web Data Pointed. Passa una bona estona gaudint mentre els nombres dansen punxant ací.

Troba els primers

Aquesta activitat et permetrà trobar i identificar els nombres primers. Recordes què són? Si no, revisa la definició abans de continuar.
Utilitza el quadern per prendre nota dels resultats, és un consell d'amic.

Mates i càncer

Un enllaç amb un article interessant

Desvelado el significado oculto del 'Copiale Cipher'

Tres profesores resuelven uno de los grandes retos de la criptografía, un códice del siglo XVIII que guardaba secretos de la secta masónica de los Oculistas. La clave ha sido matemática

EL PAÍS, DOMINGO, 13 de noviembre de 2011

This is England

Darrera pel·li del curs. I, com sempre, algunes qüestions per a reflexionar.

Petit indi

És la pel·li que estem treballant. Ací tens una fitxa per llegir i que t'ajudarà a comprendre-la millor.

Sistemes dinàmics 1.9

Un punt d’equilibri d’un sistema dinàmic es diu que és estable si quan s’altera lleugerament, la població es torna a acostar al dit punt; i es diu que és inestable si quan s’altera lleugerament, la població s’allunya del dit punt.
Contesta si els següents punts d’equilibri són estables o inestables:

1. Els punts d’equilibri de l’activitat 1.6 
2. El punt d’equilibri x=0 de l’activitat 1.8 
3. El punt d’equilibri x=0.5 de l’activitat 1.8
4. Els punts d’equilibri de l’activitat 1.5

Sistemes dinàmics 1.8

Una certa població de peixos té una corba de creixement com la de la figura:

En aquest sistema dinàmic x = 0 i x = 0’5 són punts d’equilibri, és a dir, que si la població inicial és de zero peixos o de mig milió de peixos, la dita població roman estable. El comportament del sistema al voltant dels dits punts és ben diferent com pots posar de manifest contestant les preguntes següents:

1. Una població estable de mig milió de peixos disminueix lleugerament per un cert abocament contaminant. Què ocorre a llarg termini?
2. Una població estable de mig milió de peixos augmenta lleugerament per un any de cria excepcional. Què ocorre a llarg termini?
3. En un ecosistema sense peixos introdueixes diversos exemplars. Què ocorre a llarg termini?
4. Per motius extraordinaris, un ecosistema se satura de peixos. Què ocorre a llarg termini?

Numb3rs 2x17: jocs mentals

Larry diu a aquest capítol:
Sostener una suposición y excluir los datos contradictorios no es ciencia, es política
Per a reflexionar.

A més a més, trobem probabilitat, intervals de confiança i camins aleatoris (moviments brownians). Punxa sobre els enllaços i veuràs activitats interessants.


Si vols veure la segona part,

Cortos que animan

És una sèrie de cinc curtmetratges fets per la Fundación Huésped sobre la problemàtica de la SIDA.

Si segueixes llegint pots veure'ls

Numb3rs 2x04: sobre arbres i altres coses

Aquest tall tracta de la definició de probabilitat, la utilització dels diagrames en arbre i els actius financers. Com que no ens podem quedar ací, teniu una activitat per aprofundir en cadascun dels tres aspectes. Fes-les, és un consell.

Sistemes dinàmics 1.7

Un sistema dinàmic com, per exemple, la població d’una espècie animal, es diu que està en equilibri quan s’estabilitza, és a dir, quan la seua població roman constant. El sistema dinàmic d’equació f estarà en equilibri per a aquella població x que verifica

f(x) = x 

anomenada població o punt d’equilibri i, en termes matemàtics, punt fix.

• Troba els punts d’equilibri del sistema de l’activitat S.D. 1.5
• Troba els punts d’equilibri del sistema de l’activitat S.D. 1.6

Sistemes dinàmics 1.6

Si es prohibeix la caça de balenes la seua corba de creixement augmenta i pot ser així:

1. Partint de 100.000 balenes, quantes hi haurà a llarg termini? 
2. Partint de 100 balenes, quantes hi haurà a llarg termini? 
3. Partint de 900.000 balenes, quantes hi haurà a llarg termini? 
4. Per a quin nombre de balenes la població creix a l’any pròxim? 
5. Per a quin nombre de balenes la població decreix a l’any pròxim? Per a quin nombre de balenes la població roman estable?

Et pots ajudar d'aquest enllaç

Sistemes dinàmics 1.5

Les balenes i altres espècies animals tenen corbes de creixement molt lent. En el cas que es caça lliurement les corbes de creixement poden ser així (cada eix representa milions de balenes):

Partint d’una població inicial de mig milió de balenes: 

1. Quantes hi haurà al cap de quatre anys?
2. Quantes hi haurà a més llarg termini (dins de 10 o 20 anys)?

Et pots ajudar d'aquest enllaç.

Sistemes dinàmics 1.4

Si enguany hi ha x peixos, l’any pròxim hi haurà y = f(x) peixos, d’ací a dos anys hi haurà z = f(y) peixos, i així successivament. Gràficament, el valor de z es pot obtindre seguint des de x la línia roja de la figura següent:

1. Explica per què. 
2. Obtín gràficament la població de peixos d’ací a tres anys.

Gràficament, la dinàmica de la població a llarg termini es pot visualitzar d’una forma molt més senzilla seguint la línia roja de la figura:

Si ja vas fer l'activitat 1.2.1, ací tens un enllaç per repetir la investigació utilitzant el gràfic de teranyina.

Orden en el caos

És el nom d'aquest capítol de la série Universo matemático

Ara, si us ha agradat, podeu fer algunes activitats per tal de comprovar si ho heu entés:

• Part 1
• Part 2
• Part 3
• Part 4

Per últim, resumim tot en un treball, que podeu penjar al bloc (escrit, prezi, etc.).  Guia per fer el treball.

Herois

Nova pe·li a Atenció Educativa. Espere els vostres comentaris.

Els vostres comentaris:

La catenària i Gaudí

La Catenària (Investigació) - Javi Gombao

Propietats

La catenària té la característica de ser el lloc geomètric dels punts on les tensions horitzontals del cable es compensen i per això no té tensions laterals de manera que la cadena roman immòbil sense desplaçar-se cap els costats. Les forces que actuen són la força de la gravetat, i una tensió tangent a la cadena en cada punt que és la que la manté estirada.

L'estructura que en l'arquitectura aprofita els avantatges mecàniques de la catenària rep el nom d'arc catenari i es tracta d'un arc que adquireix la forma d'una catenària invertida. Igual que en les catenàries la tensió que pateix cada punt de l'arc es reparteix entre una component vertical i una component de pressió que es transmet a través del propi arc cap als fonaments, sense que es creïn esforços horitzontals, excepte en l'extrem arribant ja als fonaments.

És aquesta propietat la que fa que els arcs catenaris no necessitin suports laterals per sustentar. Així doncs, al segle XIX amb l'arribada del Modernisme els arquitectes, entre els quals destaca Gaudí començaran a utilitzar els arcs catenaris:

A aquest dibuix es representa la transmissió de forces en arcs romànics i gòtics:

Diferències amb la paràbola

Si observem superposades les gràfiques d'una catenària i una paràbola podem entendre per què els antics matemàtics al principi suposaven que era la paràbola

El desenvolupament de les fórmules matemàtiques d'una catenària i una paràbola coincideix en els seus tres primers termes (y= a + b x + cx²) i només a partir del quart ambdues expressions es diferencien (poden haver en els últims termes de l'expressió de la catenària x elevades a potències majors). Això fa que les gràfiques de les dues corbes s'assemblen per a valors petits de la x, acusant més la seua diferenciació segons augmenten els valors d'aquesta. La major diferència entre les corbes correspon a les sevus respectives tangents, a la catenària el valor de la tangent tendeix a la verticalitat mentre que a la paràbola aquest valor té una constant. Això condiciona que en la catenària, per a valors infinits de la y, la x tendeix a valors limitats, mentre que en la paràbola per als valors infinits de la y s'obtenen valors infinits de la x. Aquesta hauria de ser la característica que fes prevaler als arcs catenaris enfront dels parabòlics en arquitectura però la facilitat de dibuixar les paràboles enfront de les catenàries va fer que la utilització de les últimes fora relativament reduït a Europa fins al segle XIX. De qualsevol manera, tot i la òptima qualitat de l'arc catenari, així com d'altres formes estàticament estables, com la paràbola invertida, durant molt temps es va considerar que tenien formes poc elegants i no es van utilitzar en l'arquitectura clàssica.

Treballs sobre "Inspirations"

Ací tenim alguns treballs fets al voltant del vídeo Inspirations, de Cristóbal Vila.

• Javi Gombao: Inspirations II: Personatges
• Mario Pastor: Prezi 1 - 2

Mi móvil matemático

És el títol d'un article que acabe de llegir a la web divulgaMAT, escrit per Omar Gil Álvarez. El podeu llegir ací

Revista de matemàtiques

Com sabeu, Javi Gombao està escrivint una revista de matemàtiques. He pensat en centralitzar en un post l'aparició de nous exemplars de la revista:

• Número 3, març
• Número 2, febrer
• Número 1, gener

Aparell de Galton

Ací teniu una simulació de l'aparell de Galton.

I ací, a continuació, un vídeo que li he vist a Toni al seu bloc:

Olimpíada matemàtica 2012

Ja s'apropa la data de la fase comarcal de l'olimpíada. Podeu consultar tots els aspectes sobre les proves punxant ací.
Recordeu que heu d'imprimir i fer signar als vostres pares l'autorització.

Up

L'últim dia vam veure els primers 10 minuts de la pel·lícula Up. Seguirem amb ella el pròxim dia.

Numb3rs 1x04: improbable

En aquest episodi trobaràs conceptes ja coneguts i treballats, i també alguna coseta relacionada amb probabilitat i estadística.



Ací tens unes activitats a fer:

• Paràboles: activitat i applet
• Quatres i sets: activitat i applet

El cavaller de Méré, Blaise Pascal i Pierre Fermat

Se sol considerar que l'origen del càlcul de probabilitats es troba en la correspondència que van mantenir els matemàtics Blaise Pascal i Pierre Fermat al voltant d'un problema proposat per un jugador, el cavaller De Méré.


Vet ací el problema:
L’aposta almenys un 6 en llançar 4 vegades un dau és favorable, mentre que l’aposta almenys un doble 6 en llançar 24 vegades dos daus és desfavorable, però 6 és a 4 com 36 és a 24.
Què en penses?

Altres problemes clàssics de probabilitat

Hi ha altres problemes clàssics al llarg de la història. Intenta estudiar-los amb deteniment.

1. Dos jugadors juguen a un joc en què per cada partida guanyada s’obté 1 punt. El primer que arriba a 6 punts s’emporta el premi (22 ducats). El joc s’interromp quan A té 5 punts i B en té 3. Com es reparteix el premi de manera justa?
2. Quina probabilitat hi ha que en un grup de N persones, almenys dues coincidisquen en el dia i el mes del seu aniversari?
3. El problema de Monty Hall: «Ets a un concurs de televisió on l’objectiu és guanyar un cotxe. El presentador t’ensenya tres portes i diu que hi ha un cotxe darrere una d’elles i una cabra darrere cadascuna de les altres dues. Tries una porta. El presentador obre una de les altres dues portes i es veu una cabra. Et pregunta si vols canviar de porta. Què has de fer?».

Sistemes dinàmics (1.2.1)

Ací tens el capítol 151 del llibre El curiós incident del gos a mitjanit, De Mark Haddon.

Avaluació del treball de grup

També has de valorar el treball del trimestre. Descarrega aquest document i, quan l'hages estudiat i tingues feta la valoració de cada apartat, ompli el qüestionari que trobaràs punxant ací.

Avaluació des de les competències

Avaluar un treball per projectes és més que escriure una nota de l'1 al 10. Com ja hem comentat a classe, el que toca ara és reflexionar sobre les capacitats que cadascú té de fer determinades coses.

Llig atentament les descripcions de cada pàgina i, després, tria la resposta més adequada per a tu. 

Descarrega aquest document, imprimeix-lo i anota la valoració que fas de cada característica del teu aprenentatge al mateix temps que omplis el qüestionari a l'ordinador. Conserva el document, ja que en ell pots observar què necessites millorar.

Quan ja ho tingues tot, punxa ací

Funcions sorprenents

Ja saps que els paràmetres de cada model de funció tenen efectes en les gràfiques. Però mira quins efectes poden tindre quan canvien els colors....

Les construccions següents són de Toni Aguirre.

Numb3rs 2x10: carboni 14

El sistema de  datació conegut com Carboni 14 té una forta base matemàtica. Ho vols conèixer? Ací tens unes cosetes a fer.

Gaudí i els arcs

Gaudí utilitza molts elements geomètrics a les seues construccions. Per exemple, hi ha arcs que ressemblen molt a una paràbola, encara que realment no ho siga:

De fet, es tracta d'una catenària, corba que descriu una cadena penjada de dos punts. El principi és que si podem sostenir una cadena amb dos dits, si li donem la volta, la corba descansa en els extrems. Aquest enllaç et permet comparar paràbola i catenària, i ací veuràs diversos element de l'arquitectura de Gaudí amb unes corbes anomenades còniques.
T'animes a fer alguna construcció amb GeoGebra?

Lip dub escola rural d'Abarzuza

Autèntic manifest en defensa de l'escola rural. Ací explica què és un lip dub

Obres d'Escher

Aquest enllaç mostra moltes de les obres de M.C. Escher

El llenguatge de les gràfiques

A aquest enllaç trobaràs la fitxa del capítol de la sèrie Más por menos que has vist.

Inspirations

Recordes Nature by numbers, de Cristóbal Vila? Ací en tens un nou treball, basat en l'obra d'Escher, i moltes més coses. Una meravella.

Intenta identificar els elements que hi trobes, i publica-les al teu bloc.

Només mitja copa

Quanta beguda queda a la copa quan "només hi ha mitja copa"?

Sistemes dinàmics (1.3)

         Generalitzem els resultats anteriors: anomenant x_k a la quantitat de peixos que hi ha l’any k, la dinàmica de la població de peixos (també anomenada òrbita) es pot presentar en una taula del tipus:

Any	0	1	2	3	…	k	k+1	…
Quantitat de peixos	x0	x1	x2	x3	…	xk	xk+1	…

on el nombre de peixos que hi ha cada any s’obté aplicant la funció f al nombre de peixos que hi havia l’any anterior:

x_k+1 = f(x_k)       equació del sistema dinàmic

Si l’equació del sistema dinàmic que regeix el creixement de la població de peixos és

f(x) = 3·x·(1 – x)

i x₀ = a són els peixos que hi ha inicialment, el nombre de peixos que hi ha els dos pròxims anys és:

x₁ = f(x₀) = f(a) = 3 a (1 – a)

x₂ = f(x₁) = 3 [3 a (1 – a)] (1 – [3 a (1 – a)]) = 9 a (1 – a) (1 – 3a + 3a²)

a.        Obtín l’expressió per al nombre de peixos que hi ha el tercer any.

b.       Podries obtindre l’expressió general de x_n en funció de x₀ ? Saps quelcom sobre ella?

      Com hauràs observat l’expressió que s’obté és molt complicada, sent difícil manipular aquestes expressions, de manera que es fa altra cosa... que veurem a la próxima activitat.

Arcs en arquitectura

Alguna vegada has mirat els arcs amb una mica d'atenció? No tots són iguals:

Un tema interessant per a investigar, sense dubte. Pots començar per aquest enllaç: http://jmora7.com/Arcos/index.htm

Treure més partit a la càmera de fotos

Vols fer millors fotos? Fer bones fotos depén també de tu. El primer pas per aconseguir-ho és conèixer millor la teva càmera digital: els ajustaments, modes de dispar, escenes predefinides són possibilitats que t'ajudaran a obtenir el millor resultat. Passem revista a les més habituals, i et contem en què consisteix i quin efecte aconsegueixes amb cadascun.

A més a més, potser ens interesse conèixer la relació entre fotografia i matemàtiques. En fi, pots començar per llegir el següent article, publicat a http://www.ocu.org.

Un meteorit

Aquest és un problema a fer i deixar al DropBox.

Problemes numèrics sobre retallades

Ací tens una col·lecció de problemes aritmètics sobre retallades fetes (o propostes) al voltant de la crisi actual. Et serviran per conèixer en què es gasten els diners dels ciutadans.

Sistemes dinàmics (1.2)

El procés descrit en Sistemes dinàmics (1.1) es repeteix, perquè el tercer any tindrem una població de peixos que dependrà de la població del segon any, i així successivament.

Si coneixem la fórmula de la funció que regeix l’evolució de la població de peixos, podem escriure la dinàmica de la població en una taula. Suposem que l’equació del sistema dinàmic és

f(x) = 3·x·(1 – x)

Això vol dir que, si la població actual és, per exemple, de 100.000 peixos (x=0’1), la de l’any següent és de 270.000 peixos, ja que

f(0’1) = 3·0’1·(1–0’1) = 3·0’1·0’9 = 3·0’09 = 0’27

i la del següent serà f(0’27) = 3·0’27·(1–0’27) = 3·0’27·0’73 = 0’5913.

La població evolucionarà any rere any, però... l’evolució serà la mateixa per a tots els valors inicials? Investiguem-ho: ompli la taula per a diversos valors inicials de la població:

Any	0	1	2	3	4	5	6	7	8	9	10
Quantitat de peixos	0
	0’1	0’27	0’59
	0’5
	0’8
	1

Pots representar gràficament els resultats. Els càlculs es poden automatitzar utilitzant un full de càlcul.

Sistemes dinàmics (1.1)

La naturalesa és un mitjà on succeeixen una gran quantitat de processos que interaccionen entre si. Els sistemes dinàmics són molt útils per a estudiar i entendre com evolucionen aquest tipus de fenòmens i, a més, han donat lloc a importants descobriments recents com l’existència de caos. Ací, ens aproximarem a aquesta teoria matemàtica per mitjà d’alguns exemples senzills, que ens permetran endinsar-nos en l'estudi de les lleis de creixement i la idea de punt d'equilibri.

Sistemes dinàmics (0)

Com que sembla que heu tingut dificultats a l'hora de contestar alguna qüestió en 'Sistemes dinàmics (1)', us propose primer aquestes preguntes:

1. Quins punts del pla tenen igual l'abscissa i l'ordenada?
2. En quins punts és major l'ordenada que l'abscissa?
3. En quins és major l'abscissa?

Utilitzeu una gràfica per les respostes, que espere al DropBox. Una vegada fet, torneu a intentar Sistemes dinàmics (1).

Full monty

Què creus que significa el títol d'aquesta pel·li? Està relacionat amb la trama que estem seguint ara en Atenció Educativa. Escriu una sinopsi i la impressió personal al teu bloc.

Informació:

• Fitxa
• Activitats

Creixement quadràtic

Bé, ja hem vist també el creixement quadràtic. Està caracteritzat per:

• La gràfica és una paràbola.
• La taula de valors té les diferències segones constants.
• La fórmula és de segon grau, conté un x².

Aquest enllaç et permetrà saber-ne més.

Creixement lineal

Una vegada que ja hem vist que hi ha diferents ritmes de creixement, estudiarem amb més detall alguns models matemàtics concrets.

Començarem pel creixement lineal; com saps està caracteritzat per:

• La gràfica és una línia recta.
• La taula de valors té diferències primeres constants.
• La fórmula és de primer grau: y=a·x+b

Aquest enllaç et permetrà saber-ne més. Quan ho tingues clar, practica ací. I ací fas un test amb nota.

Mira, analitza, valora

Si ja has fet les activitats propostes relacionades amb la pintura i les matemàtiques, tens eines que et permeten mirar pintures amb ulls matemàtics.

Tria alguna d'aquestes pintures i analitza-la.

Las Meninas

A aquesta adreça pots llegir un estudi matemàtic complet i estructurat del quadre Las Meninas
http://art-etic.educacionuniversal.org/ca/meninas
En realitat, és una adaptació de l’estudi orinal dels autors, que pots trobar ací:
http://geometriadinamica.es/Investigaciones/Arte-y-Geometria-analisis-de-obras-de-arte/16.-Velazquez.-Las-meninas-1.html
http://geometriadinamica.es/Investigaciones/Arte-y-Geometria-analisis-de-obras-de-arte/17.-Velazquez.-Las-meninas-2.html
Fes un resum de tot allò que consideres interessant, tot indicant de quines estratègies es va valdre Velázquez per tal de crear un dels millors quadres de la història.

Recull de gràfiques

Fins ara han aparegut gràfiques que ens ajuden a entendre la relació entre dues magnituds. Recordem-les:

Numb3rs 1x08

Aquest capítol de Numb3rs ens parla del creixement exponencial i altres coses. I l'activitat proposta la teniu ací. Prepareu-la, ja que és el pròxim treball a fer.

Little Miss Sunshine

Nova pel·lícula vista a classe.

Ací teniu material i els vostres comentaris:

Una errada

Ens hem proposat amidar l’altura d’una muntanya; tres amics hem pres unes mesures que desprès hem situat al croquis següent a mà alçada. Però, en calcular l’altura hem trobat com a resultat –281 m. Per més que revisem els càlculs, no trobem cap errada, i les mesures dels tres havien coincidit. Quina errada hem pogut cometre? Quina és en realitat l’altura de la muntanya?

Les solucions, al DropBox. (O en mà!).

Intel·ligència artificial

Ací us deixe unes adreces on podeu trobar dades sobre la vida del matemàtic Alan Touring i una introducció a la intel·ligència artificial:

• Wikipèdia
• Pàgina dedicada a ell (anglés)
• Dígits
• Intel·ligència artificial

Una ampliació

Has llegit el post sobre els orígens de la trigonometria? Hi et proposava dos problemetes. Ací tens una ampliació del primer d'ells:

Es deixa caure al carrer una engruna de pa. Del capdamunt de cadascun dels dos edificis ix un pardal; suposant que ambdós pardals segueixen un moviment rectilini i que arriben a l'engruna de pa alhora, on estava situada l'engruna de pa? 

La perspectiva a la pintura

Investiga com ha evolucionat al llarg del temps la tècnica que permet una representació plana de l’espai tridimensional, fent-ne referència a la pintura. Escriu-ne un resum on figuren dades concretes:

• Dates, èpoques, pintors, obres.
• Imatges.
• Instruments utilitzats: descripció.
• Eines matemàtiques. 

Et poden servir algunes d’aquestes adreces:

http://www.edu3.cat/Edu3tv/Fitxa?p_id=19351
http://www.youtube.com/watch?v=cE-EOpYk2O0
http://www.xtec.cat/~jbuxader/historia/socials/art3.htm#La perspectiva
http://www.xtec.cat/~jjareno/activitats/impossibles/intro.htm
http://www.cossio.net/actividades/pinacoteca/p_02_03/perspectiva.htm
http://www.profesorenlinea.cl/artes/Perspectiva_Tipos.htm
http://www.almendron.com/arte/pintura/claves_pintura/cp_08/cp_082/pintura_082.htm

La Venus de l'espìll

Comencem la nostra anàlisi d’obres d’art per aquesta magnífica obra de Velázquez, que podem veure si visitem la National Gallery, a Londres.

Ampliacions sobre Fibonacci

El lloc web següent conté una varietat de connexions amb els números de Fibonacci. Té referències, trencaclosques, trucs màgics, i aplicacions que tenen connexions amb moltes àrees. Explora els temes que trobes més interessants. En particular, llig el problema de conills per on començava tot.
http://www.mcs.surrey.ac.uk/Personal/R.Knott/Fibonacci/fibmaths.html

Hi ha relacions amb la música ací:
http://goldennumber.net/music.htm
http://techcenter.davidson.k12.nc.us/Group2/music.htm
on pots sentir música Fibonacci.

Si estàs interessat en aplicacions a les arts i arquitectura visita: http://www.mcs.surrey.ac.uk/Personal/R.Knott/Fibonacci/fibInArt.html

Escher, l'art de l'impossible

L'any 2007 alguns vam tindre ocasió de visitar l'exposició que sobre l'obra d'Escher es va fer a la Fundación Canal a Madrid. Ací teniu un vídeo que ha trobat Javi sobre l'obra d'Escher i aquesta exposició.

Com escriure exponents i subíndexs

Si volem escriure un exponent, utilitzem el tag html <sup>, i <sub> per a un subíndex.

Exemples:

1. 53 cm² s'obté escrivint 53 cm²
2. a₃ s'obté escrivint a₃

S'ha d'escriure en la pestanya HTML, és clar. Espere que us siga útil.

Escher (1)

Comencem la nostra investigació sobre l'obra de l'artista holandés Maurits Cornelius Escher, i el seu contingut matemàtic. Podeu buscar informació e les adreces següents:

• Web oficial
• Matemáticas y Escher
• Pàgina sobre M.C. Escher
• Una visita pel món d'Escher
• Efecte Droste

Els bombers

Fes almenys un dels treballs proposats a continuació, i quan estiga acabat publica'l al teu bloc. El quadern amb tot el treball intermig, al dropbox.

• Bombers
• Tales i les ombres
• El pendent

Els orígens de la trigonometria

Històricament, sembla que la trigonometria començà amb l'intent d'Hiparc d'utilitzar, per a caracteritzar els angles, la longitud de la corda corresponent en el cercle de radi unitat. Al s VI el matemàtic indi Āryabhata utilitzà la meitat de la longitud de la corda de l'angle doble (el que avui hom anomena sinus). D'altra banda, Menelau, astrònom d'Alexandria, escriví el tractat Esfèrica, on estudià sistemàticament la trigonometria esfèrica, a les acaballes del s I. Bé que sense utilitzar el sinus, a l'obra Almagest de Ptolemeu hi ha ja una bona col·lecció de resultats trigonomètrics. Els àrabs, reunint els coneixements hel·lenístics amb la descoberta hindú dels sinus, elaboraren les primeres taules trigonomètriques, alhora que descobriren les relacions elementals entre les raons. Tot això passà a l'Occident cristià a través de les penínsules Ibèrica i Itàlica, i contribuí al desenvolupament de les tècniques de navegació. L'any 1553 Regiomontanus publicà a Nuremberg De triangulis omnimodis libri quinque, obra molt influent, en la qual, entre d'altres novetats, apareix per primera vegada el teorema que avui és anomenat dels sinus, alhora que hi ha també les primeres idees sobre cosinus i tangents. Més tard, Viète posà la trigonometria a l'abast de la tècnica, en estudiar les conseqüències de les divisions dels arcs i en facilitar la construcció de taules trigonomètriques detallades (Burgui, Van Romen), cap al 1600. En la trigonometria esfèrica, Viète mateix descobrí i sistematitzà les anomenades analogies de Neper, que ajuden a la resolució dels triangles. A poc a poc la trigonometria anà adquirint la forma que avui té, i l'estudi de les funcions trigonomètriques rebé un bon impuls gràcies a Euler (1730) quan, utilitzant els nombres complexos, aconseguí de relacionar les funcions trigonomètriques amb les exponencials i les logarítmiques.

Font: Enciclopèdia catalana